Le critère de Kelly : comment bien dimensionner ses positions

[Sora]

Le critère de Kelly : comment bien dimensionner ses positions (et pourquoi presque personne ne l'utilise à 100 %)

Bonjour à tous,

On parle souvent des signaux d'entrée, des stops et des objectifs. Mais la question qui détermine réellement la trajectoire d'un compte sur le long terme est souvent négligée : combien risquer sur chaque trade ?

Risquez trop peu et une bonne stratégie ne rapporte presque rien. Risquez trop et même une stratégie gagnante peut vider votre compte. Entre les deux, il existe une taille « optimale » au sens mathématique : c'est le critère de Kelly.

1. D'où vient le critère de Kelly ?

John L. Kelly, chercheur aux Bell Labs, publie en 1956 une formule pour maximiser la croissance d'un capital sur une série de paris répétés avec un avantage statistique. Le mathématicien Edward Thorp l'applique ensuite au blackjack, puis aux marchés financiers avec son fonds Princeton/Newport Partners.

L'idée centrale est simple. On ne cherche pas à maximiser le gain moyen de chaque trade. On cherche à maximiser le taux de croissance géométrique du capital, c'est-à-dire ce qui compte vraiment quand les gains et les pertes se composent trade après trade.

2. La formule appliquée au trading

Pour une stratégie avec des gains et des pertes moyens connus :

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f* = W - (1 - W) / R

W  = taux de réussite (proportion de trades gagnants)
R  = gain moyen / perte moyenne
f* = fraction du capital à RISQUER par trade

Point essentiel : f* n'est pas la taille de la position. C'est le montant perdu si le stop est touché, exprimé en % du capital. Si f* = 2 % et que votre stop est à 50 points, vous calibrez la taille pour perdre 2 % du compte sur ces 50 points.

Exemple : une stratégie gagne 45 % du temps, avec un gain moyen égal à 1,8 fois la perte moyenne.

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f* = 0,45 - 0,55 / 1,8 = 0,45 - 0,306 = 0,144

Kelly recommande donc de risquer 14,4 % du capital par trade. Tous ceux qui ont un peu d'expérience voient immédiatement le problème : c'est énorme. Nous verrons pourquoi personne de sensé ne fait ça.

Si f* est négatif, la stratégie n'a pas d'espérance positive. Kelly vous dit de ne pas la trader, quelle que soit la taille.

3. La courbe de croissance : ce que la formule ne dit pas au premier coup d'œil

Voici la croissance logarithmique moyenne par trade pour l'exemple ci-dessus (W = 45 %, R = 1,8), selon la fraction risquée :

• Quart de Kelly (3,6 %) : environ 44 % de la croissance maximale
• Demi-Kelly (7,2 %) : environ 74 % de la croissance maximale
• Kelly plein (14,4 %) : 100 %, c'est le maximum
• Double Kelly (28,9 %) : croissance quasiment nulle
• Au-delà : croissance négative, le compte tend vers zéro même avec une stratégie gagnante

Deux enseignements majeurs :

a) La courbe est asymétrique dans ses conséquences. Être en dessous de Kelly coûte un peu de rendement. Être au-dessus coûte beaucoup plus cher, et à partir de deux fois Kelly, on détruit le capital.

b) Le demi-Kelly est une affaire. On conserve environ trois quarts de la croissance optimale avec moitié moins de volatilité. C'est pour ça que la plupart des praticiens sérieux ne dépassent pas cette fraction.

4. Pourquoi le Kelly plein est dangereux en pratique

Les drawdowns sont violents.
Avec un Kelly plein, la probabilité de voir son capital tomber à une fraction x de son niveau à un moment donné est d'environ x. Concrètement, il y a une chance sur deux de perdre la moitié de son capital à un moment ou un autre, et une chance sur dix de tomber à 10 % du capital. Mathématiquement optimal, psychologiquement insupportable.

Avec une fraction c de Kelly, cette probabilité devient x^(2/c - 1) :

• Demi-Kelly : environ 12,5 % de chances de perdre la moitié du capital à un moment donné
• Quart de Kelly : moins de 1 %

Vos statistiques sont fausses (un peu, mais suffisamment).
C'est le point le plus sous-estimé. Kelly suppose que vous connaissez W et R parfaitement. Or vous les estimez sur un échantillon de trades.

Sur 100 trades avec 45 % de réussite, l'erreur type sur le taux de réussite est d'environ 5 points. Autrement dit, votre « vrai » taux pourrait très bien être de 40 %.

Refaisons le calcul avec W = 40 % :

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f* = 0,40 - 0,60 / 1,8 = 0,067

Le vrai Kelly n'est plus de 14,4 % mais de 6,7 %. Si vous risquez 14,4 %, vous êtes au-delà de deux fois le vrai Kelly : votre croissance attendue devient négative. Une simple erreur d'estimation de 5 points transforme une stratégie gagnante en machine à perdre.

Le passé n'est pas l'avenir.
Les marchés changent de régime. Un edge mesuré en backtest s'érode souvent en réel (frais, slippage, changement de volatilité, surapprentissage). Kelly appliqué à des chiffres de backtest optimiste mène presque toujours au surdimensionnement.

Les pertes ne sont pas toujours égales au stop.
Gaps, slippage, week-ends, annonces : la perte réelle peut dépasser la perte prévue. Il faut calculer R avec les pertes réellement constatées, pas avec la distance théorique du stop.

5. Comment l'utiliser intelligemment

Voici une démarche raisonnable :

1. Un échantillon suffisant. Au moins 100 trades, idéalement plusieurs centaines, issus de conditions de marché variées. En dessous, Kelly ne veut pas dire grand-chose.
2. Des chiffres prudents. Plutôt que le taux de réussite moyen, prenez une borne basse (par exemple taux observé moins une erreur type). Faites de même pour R. Calculez Kelly sur ces valeurs dégradées.
3. Une fraction de Kelly. Appliquez ensuite un quart à un demi de ce Kelly prudent. Le Kelly plein est un plafond théorique, jamais une cible.
4. Une vérification par le drawdown. Demandez-vous quel drawdown maximal vous êtes réellement capable d'encaisser sans couper la stratégie au pire moment. Si la taille issue de Kelly dépasse cette tolérance, c'est votre tolérance qui gagne.
5. Un recalcul régulier, mais pas nerveux. Mettez à jour W et R sur une fenêtre glissante (par exemple les 200 derniers trades), sans tout changer après trois pertes d'affilée.

6. Plusieurs stratégies en même temps : attention à l'addition

Si vous faites tourner plusieurs stratégies, il ne faut pas additionner les Kelly calculés séparément. Si elles sont corrélées (même indice, même horaire, même type de signal), elles perdent souvent ensemble, et le risque global explose.

Le Kelly d'un portefeuille de stratégies tient compte des corrélations (dans sa version continue, c'est l'inverse de la matrice de covariance multiplié par les rendements attendus). Sans aller jusque-là, une règle simple : le risque total ouvert au même moment doit rester dans l'enveloppe d'un Kelly fractionnaire global, pas de chaque stratégie isolée.

7. Le bon usage du critère de Kelly

Kelly est moins une formule de dimensionnement qu'un garde-fou et une boussole :

• Il vous dit si votre stratégie a un edge (f* positif) ou non.
• Il vous donne la limite à ne jamais dépasser.
• Il montre que la sur-exposition est bien plus destructrice que la sous-exposition.
• Il rappelle que la taille de position est un levier de performance au même titre que la stratégie elle-même.

En résumé : calculez votre Kelly, dégradez vos chiffres, divisez par deux (ou plus), et vérifiez que le drawdown associé vous est supportable.

« L'objectif n'est pas de maximiser le gain du prochain trade, mais de rester assez longtemps dans la partie pour que votre avantage statistique s'exprime. »

Et vous, comment dimensionnez-vous vos positions ? Utilisez-vous un pourcentage fixe, une fraction de Kelly, une autre méthode ? Vos retours d'expérience m'intéressent.