QUANT : La gestion proportionnelle est une anti martingale
Publié : 13 oct. 2015, 18:58
Qu’entend-on par gestion proportionnelle ? Il s'agit de prendre un nombre de lots proportionnels à l'Equity. Si on a 100 000$ on prend plus de lots que si on en a 1000. Quand on étudie une simulation dans le temps d'une stratégie, on envisage un résultat positif, résultat qui est susceptible d'être réinvesti. Hormis les processus stochastiques et autres promenades aléatoires, il est clair qu'on est en face d'une courbe exponentielle. La plus grande force de l'univers d'après Einstein qui ne manquait pas d'humour lorsqu'il commentait les intérêts composés.
Quand je démarre avec 10000$ et que je fais 10% la première année, j'aurais alors 11000$ et si je prenais 10 lots de n'importe quoi, j'en prendrais alors 11.
A noter que pour l'analyse de backtest, la gestion proportionnelle est déconseillée. En effet, à moins d'avoir les graphes et d'une manière générale les métriques en coordonnée semi logarithmiques, on ne se fait pas une bonne idée de la validité de la stratégie dans le temps. Le début est écrasé. On a l'impression d'une instabilité grandissante alors que ce n'est qu'une histoire d'échelle. La contribution des premières années au résultat global est négligeable alors qu'on cherche à comprendre ce que donnerait l'EA si par exemple les cours reprenaient le même genre de parcours que les premières années. Le profit facteur dépend des dernières années, pas du tout des premières, et ce n’est qu’un exemple parmi d’autres.
A ce titre, on comprend pourquoi il faut recalculer dans les EA les évaluations de DD, car MT4 est toujours aussi inepte en la matière. Bref, à moins de faire du marketing et d'essayer de vendre un EA, une gestion proportionnelle pour analyser un back test en MT4 n'est vraiment pas sérieux. Sauf peut être si l’on veut observer le calcul de MaxDD%, auquel cas seule une gestion proportionnelle lui donne un sens.
Dans la vraie vie, un portefeuille, un compte, s'il rencontre le succès, verra une gestion proportionnelle consistant à augmenter les lots au fur et à mesure de l'augmentation de l'equity. A moins bien sur de se fixer un capital moyen, puis en cas de succès de mener des withdrawals réguliers.
Ci-dessous, lots constants versus gestion proportionnelle :
Fig 1. Gestion non proportionnelle à l’equity.
Il apparait que les lots sont néanmoins variables. C’est normal, ils diminuent avec un indice de volatilité – ce qui offre une equity curve droite. Par contre ils sont fixes relativement à l’equity. Ce n’est pas nécessaire à notre propos, mais il s’avère que l’EA utilisé pour l’illustration est ainsi.
Fig 2. Gestion proportionnelle à l’equity.
C’est le même EA.
Tout le monde connait bien ces deux aspects.
A noter qu'une présentation exponentielle avec une gestion proportionnelle est un bon indice d'offre de robot ou de PAMM foireuse
Maintenant, reprenons nos petites simulations et amusons nous avec l'exponentielle. Au fait, saviez vous pourquoi Fibonnacci à créé sa suite ? C'est simple, l'exponentielle n'étant pas encore inventée alors qu'il étudiait des croissances de population animales, il a du s'en sortir avec sa suite qui est une sorte d'exponentielle.
Comme système on va prendre des paris à pile ou face. On gagne ou on perd. La même valeur. L’espérance est donc nulle et il n'y a pas de frais. Les paris sont organisés par un broker honnête qui travaille gratuitement. Il s’agit d’un modèle, comment dire ? Une fiction.
Regardons façon Monte-Carlo ce que donne une gestion proportionnelle (les parieurs ne sont pas cons et font une mise proportionnelle à leur capital) :
Fig 3. 250 trades – 40 simulations. 5% du capital pas mise.
Comme on pouvait s'y attendre, le graphe n'est pas symétrique. En effet les trajectoires chanceuses peuvent monter au ciel alors que le pire qui puisse arriver est de se retrouver à zéro. (A moins qu'un huissier frappant à vôtre porte vous explique qu'il ne fallait pas croire les propos marketing de FXCM relatifs à un solde qui ne peut être négatif).
Etant donné qu'il s'agit d'un jeu de pile ou face d'espérance nulle, il est clair que la somme des résultats des différents joueurs est nulle. Si l'on a suffisamment de joueurs et suffisamment de tirages, par exemple 1000 joueurs et 1000 tirages, la moyenne des résultats est très proche de zéro.
Maintenant, si on regarde les 10% des joueurs les plus chanceux, on voit combien l'equity peut s'envoler si la chance sourit lors d'une gestion proportionnelle. Si l'on regarde les moins chanceux, malgré la gestion proportionnelle, si la proportion du capital misée est non négligeable, quand on n’a pas de chance, on n'a pas de chance et l'on peut s'approcher de zéro.
Quoi qu'il en soit, on voit bien que les plus malchanceux perdent le capital alors que les plus chanceux peuvent gagner beaucoup plus.
Un résultat qui pourrait être contre intuitif s'en suit : les joueurs qui ont une chance moyenne ont un résultat négatif ! Pas beaucoup, mais un peu. La moyenne des résultats des joueurs qui ont une chance moyenne est négative. Quelque part, pour servir les très gros gains des joueurs chanceux, les pertes des joueurs malchanceux ne suffisent pas : la majeure partie des joueurs paye son écot.
Ce n'est pas de la magie, ni une force obscure, ni une erreur de raisonnement. C'est normal. La gestion proportionnelle concernant une stratégie gagnante (si tant est que les expositions soient élevées pour que l'effet soit significatif – ici, il s’agit de miser 5% du capital et non 1%), la gestion proportionnelle génère en soit une perte qui équilibre le fait qu'en cas de chance honteuse les gains sont illimités.
On reste cependant sur sa faim tant qu’on n’a pas l'intuition du mécanisme à l'œuvre : comment est-ce possible ?
Il faut pour avoir une vision claire revenir aux effets d'une croissance exponentielle. Pensons aux 30 glorieuses et aux états qui s'endettent sur les marchés financiers. Il y a un net effet exponentiel de la croissance, lorsque vous remboursez les dernières annuités d’un emprunt sur 15 ans, après 15 ans de croissance à 5%, sans même tenir compte de l'inflation, le poids sera 2 fois plus faible relativement à l'ensemble de l'activité. (5% sur 15ans double le capital - ou l'activité).
De la même façon, lorsque l'on simule un système hautement spéculatif qui réussit (20% / an sur 4 ans double le capital), on comprend qu'un joli trade qui rapporte 5% en début de période contribuera deux fois moins en valeur absolue que le même trade en fin de période.
Après avoir rappelé ces truismes, appliquons-les au raisonnement qui compare deux trades successifs. Une révision de l'allocation des lots a pu avoir lieu entre les deux. A noter que l'on comprend combien il est préférable d'avoir, pour affiner une gestion proportionnelle, le choix entre 10,11 ou 15 micros lots Forex qu'entre un ou deux contrats futur sur le CAC.
Si le premier trade vient d'être nettement gagnant, imaginons que l'on passe de 10 à 11 lots. Les trades suivants vont se traiter à 11 lots (jusqu'a la prochaine révision). Ainsi, les ordres de grandeur, les pertes, les gains, tout ceci va se traiter fois 11. De fait le trade précédent la révision voit sa contribution relativement minimisée (10/11), par rapport à la période qui s'annonce. Il est dévalué en quelque sorte parce qu’il était gagnant.
Si le trade est perdant, on voit que l'on tient exactement le raisonnement inverse. Une perte menée avec 10 lots est sur valorisée par rapport aux trades suivants (qui tradent 9 lots), parce que c'est une perte.
Pas de chance. Les pertes sont sur valorisées, par l'usage postérieur des lots. Les gains sont sous valorisés car leur contribution relative va diminuer par rapport aux paris suivants.
C'est lors de cette transition (changement de l'allocation suite à une perte ou un gain conséquent), que l'on voit intuitivement comment se manifeste cet effet anti martingale de la gestion proportionnelle.
L’effet n’est pas minime. Observez à nouveau la simulation. On voit que la proportion de tradeurs au dessous de zéro est très grande. Parmi ceux-ci, la proportion qui perd beaucoup est impressionnante, bien au-delà des 10% qui n’ont pas eut de chance. Ceci est causé par une mise de 5% du capital, choisi pour amplifier l’effet. Avec 2%, l’effet est moins net mais il est bien présent.
Ce qui est paradoxal, c’est que ce sont les meilleurs tradeurs (ceux qui sont vraiment bons, ou ceux qui ont de la chance depuis quelques temps), ces meilleurs tradeurs donc, qui tout en ayant les meilleurs trades et un bon money managment vont subir de plein fouet cet effet.
Etonnant non ?
Note concernant la formule de Kelly :
C'est de là que provient l'existence même de la formule de Kelly. Quand les fondements de la formule sont avancés (on se demande à priori comment cette formule peut exister concernant les marchés financier ou tout autre pari spéculatif), je suis interloqué de voir des auteurs broder sur la chose sans évoquer la question de l'anti martingale.
En effet, la formule de Kelly n'existe que pour le point où l'effet de l'anti martingale devient supérieur à l'effet obtenu par un levier sans limite.
Les papiers sur la formule de Kelly négligent le plus souvent les processus stochastiques, le caractère non i.i.d. des trades successifs (variables aléatoires Identiques et Identiquement Distribuées). Ils négligent aussi et surtout le fait que le rendement et le risque sont des estimateurs, donc le vrai risque (celui qui est négligé, pas celui que l'on a étudié quand on a évalué l’écart type des rendements), le vrai risque donc, étant en fait l'incertitude sur ces estimateurs. Ce risque est si grand que les gens sous estiment le plus souvent les effets délétères de la sur optimisation.
Voila pourquoi la formule de Kelly est inapplicable au money managment, du moins en l'état.
Quand je démarre avec 10000$ et que je fais 10% la première année, j'aurais alors 11000$ et si je prenais 10 lots de n'importe quoi, j'en prendrais alors 11.
A noter que pour l'analyse de backtest, la gestion proportionnelle est déconseillée. En effet, à moins d'avoir les graphes et d'une manière générale les métriques en coordonnée semi logarithmiques, on ne se fait pas une bonne idée de la validité de la stratégie dans le temps. Le début est écrasé. On a l'impression d'une instabilité grandissante alors que ce n'est qu'une histoire d'échelle. La contribution des premières années au résultat global est négligeable alors qu'on cherche à comprendre ce que donnerait l'EA si par exemple les cours reprenaient le même genre de parcours que les premières années. Le profit facteur dépend des dernières années, pas du tout des premières, et ce n’est qu’un exemple parmi d’autres.
A ce titre, on comprend pourquoi il faut recalculer dans les EA les évaluations de DD, car MT4 est toujours aussi inepte en la matière. Bref, à moins de faire du marketing et d'essayer de vendre un EA, une gestion proportionnelle pour analyser un back test en MT4 n'est vraiment pas sérieux. Sauf peut être si l’on veut observer le calcul de MaxDD%, auquel cas seule une gestion proportionnelle lui donne un sens.
Dans la vraie vie, un portefeuille, un compte, s'il rencontre le succès, verra une gestion proportionnelle consistant à augmenter les lots au fur et à mesure de l'augmentation de l'equity. A moins bien sur de se fixer un capital moyen, puis en cas de succès de mener des withdrawals réguliers.
Ci-dessous, lots constants versus gestion proportionnelle :
Fig 1. Gestion non proportionnelle à l’equity.
Il apparait que les lots sont néanmoins variables. C’est normal, ils diminuent avec un indice de volatilité – ce qui offre une equity curve droite. Par contre ils sont fixes relativement à l’equity. Ce n’est pas nécessaire à notre propos, mais il s’avère que l’EA utilisé pour l’illustration est ainsi.
Fig 2. Gestion proportionnelle à l’equity.
C’est le même EA.
Tout le monde connait bien ces deux aspects.
A noter qu'une présentation exponentielle avec une gestion proportionnelle est un bon indice d'offre de robot ou de PAMM foireuse
Maintenant, reprenons nos petites simulations et amusons nous avec l'exponentielle. Au fait, saviez vous pourquoi Fibonnacci à créé sa suite ? C'est simple, l'exponentielle n'étant pas encore inventée alors qu'il étudiait des croissances de population animales, il a du s'en sortir avec sa suite qui est une sorte d'exponentielle.
Comme système on va prendre des paris à pile ou face. On gagne ou on perd. La même valeur. L’espérance est donc nulle et il n'y a pas de frais. Les paris sont organisés par un broker honnête qui travaille gratuitement. Il s’agit d’un modèle, comment dire ? Une fiction.
Regardons façon Monte-Carlo ce que donne une gestion proportionnelle (les parieurs ne sont pas cons et font une mise proportionnelle à leur capital) :
Fig 3. 250 trades – 40 simulations. 5% du capital pas mise.
Comme on pouvait s'y attendre, le graphe n'est pas symétrique. En effet les trajectoires chanceuses peuvent monter au ciel alors que le pire qui puisse arriver est de se retrouver à zéro. (A moins qu'un huissier frappant à vôtre porte vous explique qu'il ne fallait pas croire les propos marketing de FXCM relatifs à un solde qui ne peut être négatif).
Etant donné qu'il s'agit d'un jeu de pile ou face d'espérance nulle, il est clair que la somme des résultats des différents joueurs est nulle. Si l'on a suffisamment de joueurs et suffisamment de tirages, par exemple 1000 joueurs et 1000 tirages, la moyenne des résultats est très proche de zéro.
Maintenant, si on regarde les 10% des joueurs les plus chanceux, on voit combien l'equity peut s'envoler si la chance sourit lors d'une gestion proportionnelle. Si l'on regarde les moins chanceux, malgré la gestion proportionnelle, si la proportion du capital misée est non négligeable, quand on n’a pas de chance, on n'a pas de chance et l'on peut s'approcher de zéro.
Quoi qu'il en soit, on voit bien que les plus malchanceux perdent le capital alors que les plus chanceux peuvent gagner beaucoup plus.
Un résultat qui pourrait être contre intuitif s'en suit : les joueurs qui ont une chance moyenne ont un résultat négatif ! Pas beaucoup, mais un peu. La moyenne des résultats des joueurs qui ont une chance moyenne est négative. Quelque part, pour servir les très gros gains des joueurs chanceux, les pertes des joueurs malchanceux ne suffisent pas : la majeure partie des joueurs paye son écot.
Ce n'est pas de la magie, ni une force obscure, ni une erreur de raisonnement. C'est normal. La gestion proportionnelle concernant une stratégie gagnante (si tant est que les expositions soient élevées pour que l'effet soit significatif – ici, il s’agit de miser 5% du capital et non 1%), la gestion proportionnelle génère en soit une perte qui équilibre le fait qu'en cas de chance honteuse les gains sont illimités.
On reste cependant sur sa faim tant qu’on n’a pas l'intuition du mécanisme à l'œuvre : comment est-ce possible ?
Il faut pour avoir une vision claire revenir aux effets d'une croissance exponentielle. Pensons aux 30 glorieuses et aux états qui s'endettent sur les marchés financiers. Il y a un net effet exponentiel de la croissance, lorsque vous remboursez les dernières annuités d’un emprunt sur 15 ans, après 15 ans de croissance à 5%, sans même tenir compte de l'inflation, le poids sera 2 fois plus faible relativement à l'ensemble de l'activité. (5% sur 15ans double le capital - ou l'activité).
De la même façon, lorsque l'on simule un système hautement spéculatif qui réussit (20% / an sur 4 ans double le capital), on comprend qu'un joli trade qui rapporte 5% en début de période contribuera deux fois moins en valeur absolue que le même trade en fin de période.
Après avoir rappelé ces truismes, appliquons-les au raisonnement qui compare deux trades successifs. Une révision de l'allocation des lots a pu avoir lieu entre les deux. A noter que l'on comprend combien il est préférable d'avoir, pour affiner une gestion proportionnelle, le choix entre 10,11 ou 15 micros lots Forex qu'entre un ou deux contrats futur sur le CAC.
Si le premier trade vient d'être nettement gagnant, imaginons que l'on passe de 10 à 11 lots. Les trades suivants vont se traiter à 11 lots (jusqu'a la prochaine révision). Ainsi, les ordres de grandeur, les pertes, les gains, tout ceci va se traiter fois 11. De fait le trade précédent la révision voit sa contribution relativement minimisée (10/11), par rapport à la période qui s'annonce. Il est dévalué en quelque sorte parce qu’il était gagnant.
Si le trade est perdant, on voit que l'on tient exactement le raisonnement inverse. Une perte menée avec 10 lots est sur valorisée par rapport aux trades suivants (qui tradent 9 lots), parce que c'est une perte.
Pas de chance. Les pertes sont sur valorisées, par l'usage postérieur des lots. Les gains sont sous valorisés car leur contribution relative va diminuer par rapport aux paris suivants.
C'est lors de cette transition (changement de l'allocation suite à une perte ou un gain conséquent), que l'on voit intuitivement comment se manifeste cet effet anti martingale de la gestion proportionnelle.
L’effet n’est pas minime. Observez à nouveau la simulation. On voit que la proportion de tradeurs au dessous de zéro est très grande. Parmi ceux-ci, la proportion qui perd beaucoup est impressionnante, bien au-delà des 10% qui n’ont pas eut de chance. Ceci est causé par une mise de 5% du capital, choisi pour amplifier l’effet. Avec 2%, l’effet est moins net mais il est bien présent.
Ce qui est paradoxal, c’est que ce sont les meilleurs tradeurs (ceux qui sont vraiment bons, ou ceux qui ont de la chance depuis quelques temps), ces meilleurs tradeurs donc, qui tout en ayant les meilleurs trades et un bon money managment vont subir de plein fouet cet effet.
Etonnant non ?
Note concernant la formule de Kelly :
C'est de là que provient l'existence même de la formule de Kelly. Quand les fondements de la formule sont avancés (on se demande à priori comment cette formule peut exister concernant les marchés financier ou tout autre pari spéculatif), je suis interloqué de voir des auteurs broder sur la chose sans évoquer la question de l'anti martingale.
En effet, la formule de Kelly n'existe que pour le point où l'effet de l'anti martingale devient supérieur à l'effet obtenu par un levier sans limite.
Les papiers sur la formule de Kelly négligent le plus souvent les processus stochastiques, le caractère non i.i.d. des trades successifs (variables aléatoires Identiques et Identiquement Distribuées). Ils négligent aussi et surtout le fait que le rendement et le risque sont des estimateurs, donc le vrai risque (celui qui est négligé, pas celui que l'on a étudié quand on a évalué l’écart type des rendements), le vrai risque donc, étant en fait l'incertitude sur ces estimateurs. Ce risque est si grand que les gens sous estiment le plus souvent les effets délétères de la sur optimisation.
Voila pourquoi la formule de Kelly est inapplicable au money managment, du moins en l'état.