Mathématiques appliquées au trading, à la bourse et à la finance

[Fabien Labrousse]

Lycée Raymond Poincaré
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ToKeTa
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Nous définissons par des exemples les notions fondamentales en statistiques. Public concerné : collégiens et lycéens.

[Fabien Labrousse]

[Fabien Labrousse]

https://youtu.be/mtKC_8VUC98

[Fabien Labrousse]

[Pure Pip Producer]

La première fois que j'ai entendu parlé de ça, c'était dans le film "Las Vegas 21"... Sauf qu'il faut tout de même apporter une précision que je n'entends nulle part.

Tout cela n'est vrai que sur la loi des grands nombres. Il faut jouer un grand nombre de coups pour que l'avantage prenne forme (un peu comme en trading où il ne faut pas regarder qu'un seul trade mais plutôt un grand nombre de trades pour qu'un avantage montre des résultats probants).

Cela avantage donc l'émission de télévision de Monty Hall sur le long terme car "l'émission de Monty Hall" joue un grand nombre de coups mais ça n'est pas du tout tangible sur un seul coup.

Mark Douglas l'explique très bien dans son livre "Traders, entrez dans la Zone". Au niveau micro, les coups, pris isolément, sont indépendants les uns des autres. Ce n'est qu'au niveau macro que se dessine un biais vers l'avantage.

Et malheureusement, du point de vue du joueur qui ne vient qu'une seule fois dans sa vie jouer à ce jeu et passer à la télé, ça ne se vérifie pas ou alors de manière infinitésimale... car le pauvre gus ne va jouer qu'un seul coup.

Précision faite !

L'intelligence du M.I.T. vs. La Jugeote de Brooklyn.

[nicolas78]

Merci beaucoup pour ce partage
les formules mathématiques nous aident à déterminer les vrais valeurs

[phil nfp]

[phil nfp]

[Maxinevem]

Bonjour à tous,

On entend souvent dire que le trading est un jeu de probabilités. Pourtant, beaucoup de traders particuliers concentrent 90 % de leur temps sur l'analyse technique (trouver le "bon" point d'entrée) en négligeant la logique mathématique qui régit la rentabilité à long terme.

Avoir un bon feeling ou une bonne analyse ne suffit pas si la structure statistique de votre système est défavorable.

Les 5 piliers statistiques indispensables en trading :

1. L'Espérance Mathématique (Expected Value) :
   La formule de base : E = (Win Rate × Gain Moyen) - (Loss Rate × Perte Moyenne). Si votre E est négative ou nulle, vous êtes certain de perdre votre capital à long terme, quels que soient vos efforts.
2. Le Ratios Risque/Rendement (R:R) vs Taux de Réussite (Win Rate) :
   Le piège classique consiste à chercher un taux de réussite de 80 % en acceptant des pertes 3 fois supérieures aux gains. Comment équilibrez-vous ce couple R:R / Win Rate dans votre stratégie ?
3. La Variance & les Séries Aléatoires :
   Même avec un système ayant 60 % de réussite, la probabilité d'enchaîner 6 ou 7 trades perdants consécutifs sur un échantillon de 100 trades est extrêmement élevée. Comment votre gestion du risque absorbe-t-elle cette variance sans déclencher de "tilt" ?
4. La taille d'échantillon & la Loi des Grands Nombres :
   Un backtest ou un historique de 20 trades ne veut absolument rien dire. À partir de combien de trades (100, 300, 500 ?) considérez-vous qu'une stratégie a une valeur statistique réelle (significativité) ?
5. Le Critère de Kelly / Risk Management :
   La formule théorique pour optimiser la taille de position en fonction de son avantage (edge). En pratique, utiliser le Kelly pur est trop agressif, mais le "Fractional Kelly" (1/4 ou 1/2 Kelly) reste un outil très puissant.

Vos habitudes et questions pour la communauté :

1. Suivez-vous précisément vos métriques statistiques via un journal de trading (Edgewonk, Tradervue, Excel persos) ?
2. Quelle est la métrique clé que vous regardez en premier pour évaluer votre performance (Profit Factor, Sharpe Ratio, Expectancy, Max Drawdown) ?
3. Avez-vous déjà dû abandonner une stratégie "qui semblait marcher au feeling" parce que les chiffres du journal ont révélé une espérance mathématique négative ?

Au plaisir de lire vos retours et d'échanger sur la dimension quantitative du trading !

[Fabien Labrousse]

Pourquoi la plupart des traders perdent non pas parce qu'ils prévoient mal, mais parce qu'ils comptent mal.

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Introduction : le trading n'est pas un jeu de prédiction

La question que se pose le débutant est « est-ce que ça va monter ? ». La question que se pose le professionnel est « quelle est mon espérance nette de gain, avec quelle variance, sur quel échantillon, et quelle taille de position cela justifie-t-il ? ».

C'est exactement la différence entre le joueur de casino et le casino lui-même. Le casino ne sait pas sur quel numéro la bille va tomber. Il n'en a pas besoin : il connaît son avantage (2,7 % à la roulette française), il connaît sa variance, il dimensionne ses limites de mise en conséquence, et il laisse la loi des grands nombres travailler.

Un trader rentable est un casino. Tout ce qui suit sert à construire cette position.

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1. L'espérance mathématique : la seule équation qui compte

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E = (p × G) − ((1 − p) × P)

où p = probabilité de gain, G = gain moyen, P = perte moyenne.

Exprimée en R (unités de risque, où 1R = la perte encourue si le stop est touché), l'équation devient lisible instantanément :

Système à 40 % de réussite, ratio gain/perte de 3:1 →

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E = (0,40 × 3R) − (0,60 × 1R) = 1,20R − 0,60R = +0,60R par trade

Système à 70 % de réussite, ratio 0,4:1 →

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E = (0,70 × 0,4R) − (0,30 × 1R) = 0,28R − 0,30R = −0,02R par trade

Le second système gagne 7 fois sur 10 et perd de l'argent. C'est le piège numéro un du trading discrétionnaire : le confort psychologique du taux de réussite élevé masque une espérance négative.

Corollaire fondamental : un taux de réussite n'a aucun sens seul. Il ne signifie strictement rien sans le ratio gain/perte associé.

Le seuil de rentabilité (breakeven) selon le ratio R:R

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Ratio G/P    Taux de réussite minimum
  0,5 : 1            66,7 %
  1   : 1            50,0 %
  1,5 : 1            40,0 %
  2   : 1            33,3 %
  3   : 1            25,0 %
  5   : 1            16,7 %

Formule : p_breakeven = 1 / (1 + R)

À retenir : avec un ratio 3:1, vous pouvez avoir tort 3 fois sur 4 et gagner votre vie. Avec un ratio 0,5:1, vous devez avoir raison 2 fois sur 3 avant frais pour simplement ne rien perdre.

Et les coûts ? L'espérance qui compte est l'espérance nette. Spread + commission + slippage se soustraient de chaque trade, gagnant ou perdant. Sur du scalping intraday où le gain moyen brut est de 10 points, un coût aller-retour de 1,5 point ampute 15 % de l'avantage brut. Beaucoup de stratégies « rentables » en backtest sont simplement des stratégies rentables avant frais. Modélisez toujours les coûts réels de votre courtier, slippage inclus.

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2. La variance : votre véritable adversaire

Avoir une espérance positive ne garantit rien à court terme. Ce qui vous élimine, ce n'est pas l'absence d'avantage, c'est la séquence.

Probabilité de k pertes consécutives (trades indépendants) :

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P = q^k     où q = 1 − p

Avec un système à 40 % de réussite (q = 0,60) :

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 5 pertes d'affilée : 0,60^5  =  7,8 %
 8 pertes d'affilée : 0,60^8  =  1,7 %
10 pertes d'affilée : 0,60^10 =  0,6 %

Ces chiffres paraissent rassurants. Ils ne le sont pas, car la bonne question n'est pas « quelle est la probabilité de 10 pertes maintenant ? » mais « quelle est la plus longue série de pertes que je vais rencontrer sur 500 trades ? »

Longueur attendue de la pire série sur N trades :

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k_max ≈ ln(N) / ln(1/q)

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Système 40 % réussite, 500 trades → k_max ≈ 12 pertes consécutives
Système 50 % réussite, 500 trades → k_max ≈  9 pertes consécutives
Système 66 % réussite, 500 trades → k_max ≈  6 pertes consécutives

Conclusion opérationnelle : une série de 12 pertes d'affilée sur un système à 40 % n'est pas un signal que le système est cassé. C'est l'événement attendu. Si votre risque par trade et votre psychologie ne survivent pas à cet événement attendu, votre système est inexploitable — quelle que soit son espérance.

Concrètement : à 2 % de risque par trade, 12 pertes consécutives coûtent environ 22 % du capital. À 5 % de risque, 46 %. À 10 %, 72 %. Le dimensionnement n'est pas un détail de confort, c'est la condition de survie qui vous permet d'atteindre le long terme où votre espérance s'exprime.

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3. Taille d'échantillon : combien de trades pour savoir si vous avez un edge ?

C'est le point le plus systématiquement ignoré, y compris par des traders expérimentés.

Erreur-type d'un taux de réussite observé :

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SE = √( p(1−p) / n )

Sur 30 trades avec 60 % de réussite observée :

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SE = √(0,6 × 0,4 / 30) = 8,9 %
Intervalle de confiance à 95 % : 60 % ± 17,5 %  →  [42,5 % ; 77,5 %]

Autrement dit : après 30 trades à 60 % de réussite, vous ne pouvez même pas exclure que votre vrai taux soit de 43 %. Vous ne savez rien. Vous avez du bruit.

Combien de trades faut-il ? Pour distinguer avec une puissance de 80 % un système à 55 % d'un système à 50 % (α = 5 %, bilatéral) :

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n ≈ (1,96 + 0,84)² × p(1−p) / δ²  ≈  780 trades

Pour détecter un écart de 10 points (60 % vs 50 %) : environ 190 trades. Pour un écart de 2 points : plus de 4 800 trades.

Plus votre edge est petit, plus l'échantillon nécessaire explose — de manière quadratique.

Le test t sur les rendements (plus informatif que le taux de réussite seul) :

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t = moyenne(R) / ( écart-type(R) / √n )

Un t supérieur à 2 correspond grossièrement à p < 5 %. En dessous, vous regardez du hasard.

Le cas du Sharpe ratio — punchline redoutable :

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t ≈ Sharpe_annualisé × √(nombre d'années)

Un Sharpe de 1,0 nécessite 4 ans de track record pour atteindre t = 2. Un Sharpe de 0,5 en nécessite 16. Toute stratégie présentée avec « 6 mois de résultats et un Sharpe de 1,2 » est statistiquement indiscernable du bruit.

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4. Les rendements ne sont pas gaussiens (et cela change tout)

L'essentiel de la finance quantitative académique a été bâti sur l'hypothèse de normalité des rendements. Le marché ne l'a jamais respectée.

• Kurtosis excédentaire : les queues de distribution sont épaisses. Les mouvements « à 5 écarts-types », théoriquement impossibles (1 fois tous les 7 000 ans), se produisent plusieurs fois par décennie.
• Asymétrie (skewness) : les baisses sont plus rapides et plus violentes que les hausses sur les indices actions. La volatilité est asymétrique.
• Clustering de volatilité : les rendements ne sont pas indépendants dans le temps. Les périodes agitées s'agglomèrent (modèles GARCH). Vos trades ne sont donc pas i.i.d., ce qui rend les séries de pertes plus longues que ne le prédit le calcul en q^k ci-dessus.

Conséquence pratique : la VaR paramétrique gaussienne sous-estime systématiquement le risque extrême. Préférez les mesures empiriques (VaR historique, Expected Shortfall) et les simulations Monte Carlo par ré-échantillonnage de vos propres trades.

Attention particulière aux stratégies à skew négatif (vente d'options, martingale, grid, moyennes à la baisse, stratégies « range » sans stop) : elles produisent une courbe de capital superbe, un taux de réussite de 90 %+, un Sharpe flatteur… et un unique événement qui efface plusieurs années. Le profil de risque ne se lit pas dans la courbe, il se lit dans la distribution.

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5. Money management : Kelly, croissance et risque de ruine

Le critère de Kelly donne la fraction du capital maximisant le taux de croissance géométrique :

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f* = (p × (b + 1) − 1) / b     (b = ratio gain/perte)

Système à 40 % de réussite, ratio 3:1 :

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f* = (0,40 × 4 − 1) / 3 = 0,60 / 3 = 20 % du capital par trade

Personne ne trade à 20 % par position. Pourquoi ?

• Kelly suppose p et b connus avec exactitude. Ce n'est jamais le cas : vous les estimez sur un échantillon fini. Une surestimation de p de quelques points suffit à faire basculer f* au-dessus du seuil de croissance nulle.
• L'asymétrie de l'erreur est brutale. Sous-miser réduit la croissance de façon à peu près linéaire. Sur-miser la détruit de façon géométrique. Au-delà de 2×Kelly, le taux de croissance espéré devient négatif malgré une espérance arithmétique positive.
• Le drawdown à Kelly plein est inhabitable. La théorie donne une probabilité d'environ 1/x de subir un drawdown de (1 − 1/x)… soit 50 % de chance de connaître un repli de 50 %.

En pratique : fraction de Kelly (½, ¼, voire 1/10), ou plus simplement un risque fixe de 0,5 % à 1 % du capital par trade. Le sous-dimensionnement est une prime d'assurance contre l'erreur d'estimation de votre propre edge. Elle est toujours bon marché.

Dimensionnement normalisé par la volatilité — la méthode propre :

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Taille = (Capital × %Risque) / (Distance au stop × Valeur du point)

avec une distance au stop indexée sur l'ATR plutôt que sur un nombre de points fixe. Vous obtenez alors un risque constant en euros quel que soit le régime de volatilité, et vos trades deviennent enfin comparables entre eux, condition sine qua non de toute analyse statistique ultérieure.

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6. Ergodicité : la subtilité qui ruine les traders intelligents

Voici l'idée la plus contre-intuitive et la plus importante de cet article.

Considérez ce jeu : à chaque tirage, +50 % ou −40 % de votre capital, à pile ou face.

Espérance arithmétique (moyenne d'ensemble, sur 1 000 joueurs simultanés) :

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E = 0,5 × (+50 %) + 0,5 × (−40 %) = +5 % par tirage

Le jeu semble excellent.

Croissance géométrique (moyenne temporelle, pour un seul joueur dans la durée) :

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1,50 × 0,60 = 0,90  →  −10 % tous les deux tirages

Le joueur individuel est ruiné avec une quasi-certitude.

Les deux calculs sont exacts. Ils ne répondent simplement pas à la même question. La moyenne d'ensemble décrit la richesse totale d'une population de joueurs (concentrée sur quelques chanceux extrêmes). La moyenne temporelle décrit ce qui vous arrive à vous, qui n'avez qu'une seule trajectoire.

Le trading est un processus non ergodique : vous ne pouvez pas rejouer votre vie 1 000 fois en parallèle. Vous suivez une trajectoire unique, avec des pertes multiplicatives et une barrière absorbante (le compte à zéro).

Conséquences directes :

• Optimisez la moyenne géométrique de vos rendements, pas la moyenne arithmétique.
• Un backtest affichant une espérance positive peut correspondre à une ruine quasi certaine si le dimensionnement est trop agressif. L'espérance positive est nécessaire mais pas suffisante.
• C'est la justification mathématique profonde de la gestion du risque : réduire la taille des positions augmente le rendement composé réel, même si cela réduit le rendement arithmétique espéré.

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7. Les pièges statistiques du backtest

a) Le data snooping / multiple testing
Si vous testez 100 combinaisons de paramètres sur les mêmes données, 5 apparaîtront significatives au seuil de 5 % par pur hasard. C'est une certitude mathématique, pas une malchance. Le seuil de p < 5 % est valable pour un test décidé à l'avance, pas pour le meilleur de cent.
Correctifs : correction de Bonferroni (α/nombre de tests), Deflated Sharpe Ratio de Bailey & López de Prado, ou tout simplement — déclarez votre hypothèse avant de la tester.

b) L'overfitting
Plus vous ajoutez de paramètres, mieux vous décrivez le passé et moins vous décrivez le futur. Un système à 12 paramètres optimisés est une description de l'historique, pas un modèle du marché. Règle empirique : moins de paramètres, plus de trades par paramètre, et surtout des paramètres dont la performance est robuste sur un plateau et non sur un pic isolé. Si passer de 14 à 15 périodes détruit la performance, vous avez optimisé du bruit.

c) Le biais du survivant
Backtester sur l'univers actuel du CAC 40 ou du S&P 500, c'est backtester sur les entreprises qui ont survécu. Le résultat est structurellement surévalué.

d) Le look-ahead bias
Utiliser une donnée non disponible au moment de la décision : clôture de la bougie en cours, données fondamentales publiées avec retard, révisions de séries macro. Erreur discrète, effet dévastateur.

e) Le protocole propre

1. In-sample : développement et optimisation (≈ 60-70 % des données).
2. Out-of-sample : validation sur données jamais vues (30-40 %). Une seule fois. Si vous retournez optimiser après un échec OOS, vos données OOS sont brûlées.
3. Walk-forward analysis : ré-optimisation glissante, la méthode qui reproduit le mieux la réalité opérationnelle.
4. Monte Carlo / bootstrap : ré-échantillonnez l'ordre de vos trades 10 000 fois pour obtenir la distribution des drawdowns possibles — et pas seulement le drawdown de la séquence historique, qui n'est qu'un tirage parmi d'autres.
5. Test de permutation : comparez votre système à 1 000 systèmes générant des entrées aléatoires de même fréquence et même durée de détention. Si vous ne battez pas le 95e centile du hasard, vous n'avez pas d'edge.

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8. Les métriques qui comptent vraiment

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Espérance (R)      moyenne des trades en unités de risque    → la métrique reine
Profit Factor      gains bruts / pertes brutes               → viser > 1,5 (net de frais)
Sharpe             (rendement − sans risque) / volatilité    → pénalise la vol à la hausse
Sortino            idem, mais volatilité baissière seulement → plus pertinent en trading
Calmar (MAR)       rendement annualisé / drawdown max        → le ratio de survie
SQN                (espérance / écart-type) × √n             → qualité + robustesse
Recovery Factor    profit net / drawdown max
% Time in DD       temps passé sous le plus haut historique  → la métrique psychologique

Deux métriques sous-utilisées et pourtant décisives :

• MAE (Maximum Adverse Excursion) : jusqu'où vos trades gagnants sont-ils allés contre vous avant de tourner ? Cette distribution vous dit où placer votre stop de façon empirique, et non arbitraire.
• MFE (Maximum Favorable Excursion) : combien de gain latent laissez-vous repartir ? Elle calibre vos objectifs et vos trailing stops.

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9. Mise en pratique : que faut-il journaliser ?

Aucune de ces mathématiques n'est exploitable sans données propres sur votre trading. Minimum vital pour chaque trade :

• Date, heure d'entrée et de sortie, instrument
• Setup / signal déclencheur (catégorisé, pour permettre le tri statistique)
• Prix d'entrée, stop initial, objectif, prix de sortie
• Résultat en R (indispensable : c'est ce qui rend les trades comparables)
• MAE et MFE
• Coûts réels : spread au moment de l'exécution, commission, slippage constaté
• Contexte : régime de volatilité (ATR), séance, publication macro

Avec 200 à 300 lignes de ce type, vous pouvez enfin faire de la vraie statistique : segmenter par setup, par heure, par régime de volatilité, et découvrir que 80 % de votre performance vient de 20 % de vos configurations — et qu'une catégorie entière de vos trades détruit de la valeur depuis deux ans.

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En résumé : la hiérarchie des priorités

1. Espérance nette positive — sans elle, rien d'autre ne compte, et aucune gestion du risque ne sauve un système à espérance négative.
2. Échantillon suffisant pour affirmer que cette espérance est réelle et non un artefact de la chance.
3. Dimensionnement compatible avec la pire série de pertes statistiquement attendue.
4. Optimisation de la croissance géométrique, pas de l'espérance arithmétique.
5. Discipline d'exécution — car la loi des grands nombres ne travaille que pour ceux qui restent en jeu assez longtemps.

Le marché ne vous doit rien à l'échelle du trade. Il vous doit votre espérance à l'échelle de l'échantillon. Tout le métier consiste à survivre à la distance entre les deux.

Et vous ? Quel est votre échantillon actuel, et connaissez-vous votre espérance en R ? Postez vos chiffres (espérance, profit factor, nombre de trades, pire série) — c'est la discussion la plus utile qu'on puisse avoir sur ce forum.

Bons trades à tous.