Un peu d'histoire : la finance mathématique est née à Paris
En 1900, Louis Bachelier soutient à la Sorbonne une thèse intitulée Théorie de la spéculation, devant un jury qui compte Henri Poincaré. Il y modélise les cours de la rente française à la Bourse de Paris par ce que l'on appellera plus tard le mouvement brownien, cinq ans avant qu'Einstein ne l'utilise en physique. Le travail tombe dans l'oubli pendant un demi-siècle, avant d'être redécouvert dans les années 1950 par des économistes américains, dont Paul Samuelson.
Le vocabulaire aussi est français. C'est Jean Ville qui introduit en 1939 le terme de martingale en probabilités, en l'empruntant au système de mise des joueurs qui consiste à doubler après chaque perte. Nous y reviendrons, car ce système est précisément ce que la théorie condamne.
Après Black, Scholes et Merton en 1973, puis le cadre des martingales et de l'absence d'arbitrage posé par Harrison, Kreps et Pliska entre 1979 et 1981, la France est devenue l'un des grands viviers mondiaux de quants, notamment autour des formations animées par Nicole El Karoui. Le Lamberton-Lapeyre est l'un des manuels de cette école.
Le livre en quelques lignes
Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, de Damien Lamberton et Bernard Lapeyre, chez Ellipses. La dernière édition date de 2012 et compte 256 pages : c'est court pour le sujet, et chaque page compte. Une traduction anglaise existe chez Chapman & Hall.
Le parcours est progressif. Le livre démarre en temps discret, avec l'arbre binomial, l'absence d'arbitrage et les marchés complets, puis traite l'arrêt optimal et les options américaines. Il passe ensuite au temps continu : mouvement brownien, intégrale et formule d'Itô, équations différentielles stochastiques, modèle de Black-Scholes et équations aux dérivées partielles, modèles de taux, modèles avec sauts et méthodes numériques.
L'idée qui change tout : le prix d'une option ignore vos convictions
Tout le premier chapitre tient dans un exemple que chacun peut refaire.
Une action cote 100 €. Dans un mois, elle vaudra soit 120 €, soit 90 €. Pour simplifier, le taux d'intérêt est nul. Un call de prix d'exercice 100 € vaudra donc 20 € en cas de hausse, 0 € en cas de baisse.
Supposons que vous estimiez la hausse probable à 80 %. L'espérance de gain de l'option est alors de 0,8 × 20 = 16 €. Est-ce son juste prix ? Non. Regardez ce portefeuille :
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Acheter 2/3 d'action et emprunter 60 €
Si l'action monte à 120 € : 2/3 × 120 - 60 = 20 €
Si l'action baisse à 90 € : 2/3 × 90 - 60 = 0 €
Coût aujourd'hui : 2/3 × 100 - 60 = 6,67 €Votre 80 % n'apparaît nulle part. Le prix s'écrit pourtant bien comme une espérance, mais calculée avec une probabilité fictive : celle qui donne à l'action un rendement moyen nul, soit q × 120 + (1 - q) × 90 = 100, donc q = 1/3. On vérifie : 1/3 × 20 = 6,67 €. C'est la probabilité dite risque-neutre. Tout le reste du livre, jusqu'au théorème de Girsanov, sert à généraliser au temps continu ce passage d'une probabilité à l'autre.
Deux probabilités, deux métiers
La finance quantitative travaille donc avec deux mesures de probabilité, notées habituellement P et Q. Attilio Meucci a popularisé cette opposition dans un article devenu classique.
- P est la probabilité historique, celle du monde réel. C'est l'univers du trader, de l'investisseur et du gérant : prévoir, estimer une espérance, mesurer un avantage statistique.
- Q est la probabilité risque-neutre. C'est l'univers du desk de dérivés, du structureur et du teneur de marché : valoriser et couvrir, sans jamais rien prévoir.
- La « probabilité de finir dans la monnaie » affichée par de nombreuses plateformes d'options est une probabilité risque-neutre, tirée de la volatilité implicite. Ce n'est pas une prévision, et le delta, souvent utilisé comme raccourci, ne l'est pas davantage.
- La volatilité implicite n'est pas une prévision de la volatilité future : elle contient une prime de risque. Sur les indices actions, elle a historiquement été supérieure en moyenne à la volatilité réalisée ensuite, ce qui rémunère les vendeurs d'options, jusqu'aux krachs qui leur en reprennent une partie.
- Le skew des options sur indices, où les puts hors de la monnaie coûtent plus cher que les calls, mesure le prix de l'assurance contre un krach, pas la probabilité réelle d'un krach. Il est d'ailleurs apparu de façon marquée après octobre 1987.
- Quand vous achetez une option parce que vous croyez à la hausse, votre gain espéré ne dépend pas de la justesse de votre direction seule, mais de l'écart entre votre probabilité P et la probabilité Q contenue dans le prix. Un avantage, c'est exactement cet écart.
Livre du monde Q ou pas, trois de ses outils s'appliquent directement à la pratique.
1. La formule d'Itô et le coût caché de la volatilité
Si un actif a un rendement moyen μ et une volatilité σ, son taux de croissance composé à long terme n'est pas μ mais environ μ - σ²/2. Ce terme σ²/2 est la correction d'Itô. Avec un rendement moyen de 10 % et une volatilité de 30 %, la croissance composée tombe vers 5,5 % par an.
C'est la traduction mathématique du jeu à +50 % / -40 % présenté dans le message sur les probabilités appliquées au trading. Ce jeu offrait une espérance de +5 % par tour pour une volatilité de 45 %, et la formule donne 5 - 0,45²/2 ≈ -5 % : c'est exactement l'érosion observée tour après tour.
Le levier aggrave l'effet de manière quadratique. Pour un ETF à levier k recalculé chaque jour, l'écart de croissance avec k fois l'indice vaut environ k(k - 1)σ²/2 par an, hors frais et coûts de financement. Sur un indice à 20 % de volatilité qui termine l'année exactement à plat, un ETF ×2 perd ainsi environ 4 %, et un ETF ×3 environ 11 %. Ces produits sont conçus pour le très court terme, et la formule d'Itô dit précisément pourquoi.
2. Les temps d'arrêt : aucune règle de sortie ne crée d'avantage
Le chapitre sur l'arrêt optimal s'appuie sur un résultat que tout trader devrait connaître : le théorème d'arrêt de Doob. Sur une martingale, c'est-à-dire un jeu équitable sans dérive, aucune règle d'arrêt fondée sur le passé ne peut modifier l'espérance de gain. Stop, objectif, stop suiveur, « laisser courir ses gains » : rien de tout cela ne crée d'avantage à partir de rien.
Exemple sur un marché sans tendance et sans gap :
Code : Tout sélectionner
Objectif à +10 points, stop à -30 points
Probabilité d'atteindre l'objectif en premier : 30 / (10 + 30) = 75 %
Espérance : 0,75 × 10 - 0,25 × 30 = 0
Objectif à +30 points, stop à -10 points
Probabilité d'atteindre l'objectif en premier : 10 / (10 + 30) = 25 %
Espérance : 0,25 × 30 - 0,75 × 10 = 0Quant à la martingale des joueurs, qui consiste à doubler après chaque perte, elle ne « marche » qu'avec un capital et un temps infinis. Avec un capital fini, l'espérance reste nulle et le risque de ruine devient considérable.
3. La simulation de Monte-Carlo
Le livre consacre une partie aux méthodes numériques, dont la simulation. Appliquée à vos propres statistiques de trades, elle permet de tirer des milliers de trajectoires de capital possibles et de voir à quoi ressemblent réellement les pires drawdowns et séries de pertes que votre système risque de produire. C'est l'usage le plus immédiatement rentable du livre pour un trader systématique.
Les hypothèses à garder en tête
Le modèle de Black-Scholes suppose un marché où l'on échange en continu sans frais, où la volatilité est constante et où les rendements logarithmiques sont gaussiens. Aucune de ces hypothèses n'est vraie, et le livre ne le cache pas. Dès que les prix peuvent sauter, la couverture parfaite devient impossible et le marché est dit incomplet. Il existe alors une infinité de probabilités risque-neutres compatibles avec les prix observés, et le choix du prix redevient une question de jugement sur le risque. C'est précisément là que les desks gagnent et perdent de l'argent.
Le modèle n'en reste pas moins la langue commune du marché. Riccardo Rebonato a résumé la situation d'une formule restée célèbre : la volatilité implicite est le mauvais chiffre que l'on met dans la mauvaise formule pour obtenir le bon prix.
Faut-il le lire ?
Soyons honnêtes sur le prérequis : un niveau de probabilités de licence de mathématiques ou d'école d'ingénieurs, avec l'espérance conditionnelle et un peu de théorie de la mesure. Sans ce bagage, mieux vaut ne pas s'y attaquer de front. Quelques conseils de lecture :
- Commencer par le premier chapitre, en temps discret, crayon en main. C'est le cœur conceptuel du livre, et il ne demande pas de calcul stochastique.
- Garder le Hull à côté pour l'intuition financière de chaque résultat.
- Si la marche est trop haute, passer d'abord par Steven Shreve, Stochastic Calculus for Finance I (Springer), entièrement consacré au modèle binomial.
- Ne pas chercher à tout démontrer : comprendre l'énoncé de la formule d'Itô, du théorème de Girsanov et du théorème d'arrêt suffit à en tirer l'essentiel pour la pratique.
Le trader qui lit ce livre n'y trouvera pas de stratégie. Il y trouvera quelque chose de plus utile : la capacité de distinguer ce qu'il paie comme prix de ce qu'il espère comme avantage.
- Le prix d'un dérivé reflète Q, votre gain dépend de P : votre avantage est l'écart entre les deux.
- La volatilité coûte σ²/2 de croissance chaque année, et bien davantage avec le levier.
- Aucune règle de sortie ne transforme un jeu équitable en jeu gagnant.
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