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La « martingale » : ce que les maths de la finance entendent vraiment par là

Sur un forum de trading, le mot « martingale » évoque presque toujours la même chose : doubler sa mise après chaque perte, ou renforcer une position perdante en attendant le retournement. Pourtant, dans les manuels de finance de marché (par exemple Finance de marché : modèles mathématiques à temps discret de Laurence Carassus et Gilles Pagès), le terme désigne un concept mathématique précis… qui dit à peu près l'inverse de ce qu'espèrent les adeptes du doublement.


1. La définition mathématique

Une martingale est une suite de valeurs aléatoires M(0), M(1), M(2)… qui évolue au fil du temps, en fonction de l'information disponible à chaque date (typiquement, l'historique des prix). Elle doit vérifier une condition clé :

• L'espérance de la valeur de demain, sachant tout ce qu'on sait aujourd'hui, est égale à la valeur d'aujourd'hui.

Autrement dit : E[ M(n+1) | information à la date n ] = M(n).

C'est la formalisation mathématique d'un jeu équitable : compte tenu de toute l'information disponible, la meilleure prévision du futur est la valeur actuelle. En moyenne, on ne gagne rien et on ne perd rien.

Il existe deux variantes :

• Surmartingale : l'espérance de demain est inférieure ou égale à la valeur d'aujourd'hui (jeu défavorable, comme au casino côté joueur)

• Sous-martingale : l'espérance de demain est supérieure ou égale (jeu favorable)

2. Pourquoi c'est central en finance de marché

Le concept est au cœur de toute la théorie de l'évaluation des produits dérivés, via plusieurs résultats majeurs :

• Le théorème fondamental de l'évaluation : un marché est sans opportunité d'arbitrage si et seulement s'il existe une probabilité dite « risque-neutre » sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales.

• Les stratégies de portefeuille : sous cette probabilité, la valeur actualisée de tout portefeuille autofinancé (sans apport ni retrait d'argent) est elle aussi une martingale. Impossible, en jouant uniquement sur les achats et les ventes, de fabriquer un gain espéré sans risque.

• Le prix des options : le prix d'un produit dérivé est l'espérance, sous cette probabilité risque-neutre, de son flux final actualisé. C'est exactement ce qu'on calcule dans le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein, puis dans Black-Scholes.

• Les options américaines : leur prix fait intervenir une surmartingale particulière (l'enveloppe de Snell), et le choix de la date d'exercice optimale repose sur la théorie des temps d'arrêt.

3. Attention au contresens : ce n'est pas une prévision du marché réel

La probabilité risque-neutre est un outil de calcul, pas une description de la réalité. Dans le monde réel, les prix ne sont généralement pas des martingales : les actions progressent en moyenne plus vite que le taux sans risque, car les investisseurs exigent une prime pour le risque qu'ils portent.

Le lien avec l'efficience des marchés existe (Paul Samuelson a montré en 1965 que des prix correctement anticipés fluctuent de manière imprévisible), mais c'est une question distincte, et largement débattue empiriquement.


4. Et la martingale du trader, alors ?

Le mot vient bien, historiquement, de la stratégie de doublement au jeu. Mais la théorie mathématique des martingales aboutit à une conclusion sans appel :

• Avec un capital fini et un horizon fini, aucune stratégie de gestion des mises ne transforme un jeu équitable en jeu gagnant.

• Aucun choix astucieux du moment où l'on s'arrête ne permet non plus de « battre » une martingale (c'est le théorème d'arrêt de Doob).

• Une stratégie de doublement ne crée pas d'espérance positive : elle déplace le risque, en remplaçant beaucoup de petits gains fréquents par une perte rare mais potentiellement dévastatrice.

C'est d'ailleurs précisément pour neutraliser ce genre de stratégies que, dans les modèles en temps continu, les mathématiciens imposent des conditions d'« admissibilité » aux portefeuilles : sans elles, un doublement infini permettrait de créer un gain certain à partir de rien.

Pour un trader, la leçon est claire : si un système n'a pas d'avantage statistique à la base (une espérance positive par trade), aucune règle de money management, aussi sophistiquée soit-elle, ne pourra en créer un. Le money management sert à exploiter un avantage et à survivre à la variance, pas à le fabriquer.


Pour aller plus loin

• Laurence Carassus et Gilles Pagès, Finance de marché : modèles mathématiques à temps discret (Vuibert)

• Damien Lamberton et Bernard Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance (Ellipses)

c 'est la methode de xeilos appliqué en scalping intraday avec comme stop loss daily le montant du compte (exemple 1500 $ sur un compte 25k) .Si le premier trade est négatif , un 2 eme est pris ( mais par n'importe ou) puis un 3 eme si toujours a contre sens du marché ...

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