Futures obligataires : comment passer du prix du Bund ou du T-Note au taux de la dette (et inversement)

[Denisywy]

Question classique, que je me suis posée moi le premier : quand on lit « le 10 ans US est à 5 % », pourquoi le future T-Note affiche-t-il 106 et pas 5 ? Et pourquoi le Bund cote-t-il autour de 130 alors que le taux allemand à 10 ans tourne autour de 2,5 % ?

La réponse tient en trois idées : un future obligataire cote un prix et pas un taux, ce prix se réfère à une obligation fictive à 6 %, et dans la réalité il suit une obligation bien précise du panier livrable (la CTD). On déroule tout ça pas à pas, avec deux exemples chiffrés.

Les chiffres ci-dessous sont illustratifs et arrondis, pour comprendre la mécanique. Ce ne sont pas des cotations actuelles.

Étape 1 : un future obligataire cote un prix, pas un taux

Le Bund et le T-Note sont des contrats à terme sur des obligations. Ils cotent donc comme une obligation : en pourcentage du nominal. Un Bund à 130,00 signifie « 130 % du nominal ».

Le taux dont parlent les médias (le « 10 ans à 5 % ») est un rendement : le taux d'actualisation qui égalise le prix de l'obligation et ses flux futurs. Prix et rendement sont les deux faces d'une même pièce, mais ce ne sont pas les mêmes chiffres.

Étape 2 : la bascule prix / taux

Prenons une obligation à 1 an, nominal 100, coupon 5 %. Dans un an, elle verse 105 (100 de remboursement + 5 de coupon). Son prix aujourd'hui dépend du taux du marché :

• Si le marché exige 5 % : 105 / 1,05 = 100,00

• Si le marché exige 6 % : 105 / 1,06 = 99,06

• Si le marché exige 4 % : 105 / 1,04 = 100,96

Retenez la règle d'or : quand les taux montent, le prix des obligations baisse, et donc le future baisse. Acheter un future Bund, c'est parier sur une baisse des taux allemands. Le vendre, c'est parier sur une hausse.

Plus l'obligation est longue, plus la bascule est violente. C'est ce qu'on appelle la duration (on y revient à l'étape 6).

Étape 3 : l'obligation fictive à 6 %

Les deux contrats sont construits sur une obligation notionnelle, c'est-à-dire fictive, avec un coupon de 6 % :

• Euro-Bund (Eurex) : nominal 100 000 €, coupon notionnel 6 %, livrable en emprunts d'État allemands ayant 8,5 à 10,5 ans de durée restante, cotation en % avec 2 décimales, tick de 0,01 = 10 €

• 10-Year T-Note (CME) : nominal 100 000 $, coupon notionnel 6 %, livrable en T-Notes ayant entre 6,5 et 10 ans de durée restante, cotation en points et 32e de point, tick d'un demi-32e = 15,625 $

Conséquence directe : une obligation à coupon 6 % vaut 100 quand les taux sont à 6 %. Quand les taux sont nettement sous 6 % (c'est le cas depuis des années), l'obligation fictive vaut plus de 100. Voilà pourquoi le Bund cote 130 avec des taux allemands à 2,5 % : une obligation qui verse 6 % par an dans un monde à 2,5 %, ça vaut cher.

En 2020, avec des taux allemands négatifs, le Bund dépassait d'ailleurs 175.

Étape 4 : le vrai moteur, la CTD et le facteur de conversion

L'obligation à 6 % n'existe pas. À l'échéance, le vendeur du future livre une vraie obligation, choisie dans un panier de titres éligibles. Pour que ces titres (qui ont des coupons et des maturités différents) soient comparables, chaque titre reçoit un facteur de conversion (FC) : c'est le prix de ce titre s'il rapportait exactement 6 %, divisé par 100.

Le vendeur choisit évidemment le titre le moins cher à livrer : la CTD (Cheapest To Deliver). Et le future se cale sur elle :

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Prix du future ≈ (Prix de la CTD - portage) / Facteur de conversion

Le portage (coupons encaissés moins coût de financement jusqu'à la livraison) est une correction de quelques dixièmes de point qui tend vers zéro à l'approche de l'échéance. On le néglige dans les exemples pour garder la logique lisible.

Point pratique : tant que les taux sont sous 6 %, la CTD est en général l'obligation la plus courte du panier. Pour le Bund, un titre à environ 8,5-9 ans. Pour le T-Note, un titre à environ 6,5-7 ans. Et vous n'avez pas à calculer les facteurs de conversion : Eurex et le CME les publient.

Étape 5 : exemple 1, le Bund

Hypothèses : la CTD est un Bund coupon 2,50 %, 9 ans restants à la livraison, coupons annuels. Le marché le valorise à un rendement de 2,55 %.

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1) Facteur de conversion (prix du titre actualisé à 6 %, / 100)
   = [2,5 x (1 - 1,06^-9) / 0,06 + 100 x 1,06^-9] / 100
   = (17,00 + 59,19) / 100
   = 0,7619

2) Prix de marché de la CTD (actualisé à 2,55 %)
   = 2,5 x (1 - 1,0255^-9) / 0,0255 + 100 x 1,0255^-9
   = 19,88 + 79,72
   = 99,60

3) Prix du future
   = 99,60 / 0,7619
   ≈ 130,72

Un taux allemand autour de 2,5 % donne donc un Bund autour de 130-131. On retrouve bien les ordres de grandeur affichés sur nos plateformes.

Étape 6 : exemple 2, le T-Note avec un 10 ans US à 5 %

Hypothèses : la CTD est un T-Note coupon 4,50 %, 7 ans restants, coupons semestriels (donc 14 coupons de 2,25). Rendement de marché : 5,00 %, soit 2,5 % par semestre.

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1) Facteur de conversion (actualisé à 6 %, soit 3 % par semestre)
   = [2,25 x (1 - 1,03^-14) / 0,03 + 100 x 1,03^-14] / 100
   = (25,42 + 66,11) / 100
   = 0,9153

2) Prix de marché de la CTD (actualisé à 2,5 % par semestre)
   = 2,25 x (1 - 1,025^-14) / 0,025 + 100 x 1,025^-14
   = 26,30 + 70,77
   = 97,08

3) Prix du future
   = 97,08 / 0,9153
   ≈ 106,06
   soit environ 106-02 en cotation US (106 + 2/32)

La cotation en 32e piège beaucoup de monde : 106-02 ne veut pas dire 106,02 mais 106 + 2/32 = 106,0625. De même, 110-16 = 110,50.

Et la preuve que la CTD compte : si on avait naïvement calculé le prix de l'obligation fictive (6 %, 10 ans) à 5 %, on aurait trouvé 107,79, soit environ 107-25. Un écart de 1,73 point avec la bonne réponse, c'est 1 730 $ par contrat. Pas un détail.

Autre conséquence, souvent ignorée : comme sa CTD a environ 7 ans, le « 10 ans » T-Note se comporte davantage comme un taux à 7 ans que comme le 10 ans de référence qu'on voit dans les médias.

Étape 7 : combien bouge le future quand le taux bouge ?

C'est la question qui intéresse le trader. On utilise la duration modifiée de la CTD (sa sensibilité en % à une variation de taux), puis on divise par le facteur de conversion :

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Variation du future ≈ (Prix CTD x Duration modifiée x Variation de taux) / FC

Avec nos exemples, pour une hausse de taux de 10 points de base (+0,10 %) :

• Bund : duration modifiée de la CTD ≈ 7,97. Variation CTD ≈ 99,60 x 7,97 x 0,001 = -0,79. Variation du future ≈ -0,79 / 0,7619 = -1,04 point, soit environ -1 040 € par contrat

• T-Note : duration modifiée de la CTD ≈ 5,92. Variation CTD ≈ 97,08 x 5,92 x 0,001 = -0,57. Variation du future ≈ -0,57 / 0,9153 = -0,63 point, soit environ 20/32e ou -630 $ par contrat

Règles de pouce à ces niveaux de taux : 10 pb de hausse des taux ≈ -1 point sur le Bund, ≈ -20/32e sur le T-Note. Ces sensibilités varient avec le niveau des taux et le changement de CTD, il faut donc les recalculer de temps en temps.

Étape 8 : la méthode inverse, du prix du future au taux

Vous voyez le future à l'écran et vous voulez savoir quel taux il « contient » :

• 1) Multipliez le prix du future par le facteur de conversion de la CTD : vous obtenez le prix implicite de la CTD

• 2) Cherchez le rendement qui correspond à ce prix : c'est le taux implicite du future

Sous Excel ou LibreOffice, la fonction TAUX fait le travail :

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Bund :   130,72 x 0,7619 = 99,60
         =TAUX(9; 2,5; -99,60; 100)        -> 2,55 %

T-Note : 106,06 x 0,9153 = 97,08
         =TAUX(14; 2,25; -97,08; 100) x 2  -> 5,00 %

(Pour le T-Note, on multiplie par 2 car les coupons sont semestriels.)

Étape 9 : pourquoi ça ne colle jamais parfaitement

• Le portage : le future n'est pas le prix comptant de la CTD, il intègre le coût de financement et les coupons jusqu'à la livraison

• Le coupon couru : les obligations cotent « pied de coupon », il faut en tenir compte pour un calcul exact

• Le changement de CTD : si les taux bougent fortement, une autre obligation du panier peut devenir la moins chère à livrer, et la sensibilité du future change

• Le roll trimestriel : chaque échéance (mars, juin, septembre, décembre) a son propre panier, donc sa propre CTD et ses propres facteurs de conversion

• Le taux affiché dans les médias est celui du titre de référence (benchmark), qui n'est pas forcément la CTD

Pour un calcul d'ordre de grandeur, la méthode ci-dessus suffit largement. Pour un calcul au centime, on passe par les outils des bourses ou de Bloomberg (fonctions de base nette, taux repo implicite, etc.).

La famille complète

Le même raisonnement s'applique aux autres contrats de taux, seule la maturité du panier change :

• Côté allemand (Eurex) : Schatz (2 ans), Bobl (5 ans), Bund (10 ans), Buxl (30 ans, coupon notionnel de 4 %)

• Côté américain (CME) : 2 ans, 5 ans, 10 ans, Ultra 10 ans, T-Bond, Ultra T-Bond

Plus le contrat est long, plus il est sensible aux taux : 10 pb de hausse coûtent beaucoup plus sur un Buxl que sur un Schatz.

En résumé

• Un future obligataire cote un prix, pas un taux : quand les taux montent, il baisse

• Il se réfère à une obligation fictive à 6 %, d'où des prix au-dessus de 100 quand les taux sont bas

• En pratique, il suit la CTD : prix du future ≈ prix de la CTD / facteur de conversion

• Pour retrouver le taux : prix du future x FC, puis fonction TAUX

• Ordres de grandeur actuels : 10 pb ≈ 1 point de Bund (≈ 1 000 €) et ≈ 20/32e de T-Note (≈ 630 $)

Si des points restent flous, posez vos questions à la suite, on complétera avec d'autres exemples (Bobl, T-Bond, cas d'un changement de CTD…).